¿Cuál es la probabilidad de tener una determinada enfermedad, si el test me dió positivo?. Esta pregunta, que parece un poco obvia, está muy estudiada y es la base de la confianza que tienen los pacientes y los médicos. Para explicar como se razona vamos a ver una interpretación práctica del teorema de Bayes.
Tomamos como ejemplo el diagnóstico de la celiaquía, una enfermedad en la que el paciente tiene un rechazo inmunológico al gluten, y no puede comer harinas de máiz, trigo o centeno y se diagnostica por la presencia de auto anticuerpos antiTG.
Tomamos como ejemplo el diagnóstico de la celiaquía, una enfermedad en la que el paciente tiene un rechazo inmunológico al gluten, y no puede comer harinas de máiz, trigo o centeno y se diagnostica por la presencia de auto anticuerpos antiTG.
Para analizarlo primero tenemos que conocer dos conceptos que están relacionados: la Sensibilidad y la Especificidad.
- La probabilidad de que el Test de celiaquía me salga positivo, dado que efectivamente tengo la enfermedad (D) se denomina "Sensibilidad" y está dado por:
P (T|D)
Esto se interpreta de la siguiente manera: En el caso de la celiaquía, la sensbilidad es del 98%, por lo tanto, de 100 individuos con la enfermedad (D), el 98% será detectado por el análisis, pero 2% saldrán negativos. A estos negativos se denominan "Falsos negativos"
Por otro lado, si no tengo la enfermedad (-D), uno esperaría que el test salga negativo, y es así en la mayoría de los casos, pero también existe una chance que el test de celiaquía me salga positivo en individuos que no tienen la enfermedad. Este es el concepto de especificidad, y se representa por:
P(T|-D)
Que se lee como la chance de que el test salga positivo en aquellos individuos que no tienen la enfermedad. A estos positivos se denominan "Falsos positivos", y en el caso de la celiaquía, 5 casos de 100 personas que no están enfermas saldrán positivo.
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Pero, estos dos parámetros, sensibilidad y especificidad, son parámetros que son específicos del ensayo de laboratorio, están determinados por el equipamiento y aunque son importantes, no son suficientes para saber si una persona que están enferma realmente saldrá positiva.
Para explicar mejor esto, tomemos el caso específico de una persona que se hace el test de celiaquía, que ser realizó el test por curiosidad, y después tenemos otra persona, que también se realizó el test por curiosidad, pero proviene de una familia que tiene un gran número de celíacos en su historia. Si el test de los dos sale positivo, existe una probabilidad más grande que el individuo que proviene de la familia de celíacos se trate de un verdadero positivo y una probabilidad menor que el individuo que solo lo hizo por curiosidad se trate de un falso positivo.
La chance de que un individuo tenga la enfermedad, dado que salió positivo en el test es:
P(D|T)
Del teorema de Bayes
P(D|T) x P(T) = P(T|D) x P(D)
Despejando
P(D|T) = Verosimilitud x P(D)
El segundo término, se denomina cociente de verosimilitud y me determina cuanto más probabilidad tengo de tener la enfermedad cuando el test me sale positivo. Se multiplica por la P(D), que es la probabilidad de tener la enfermedad en todos los individuos del la población.
Ejemplo:
En el caso de la celiaquía, el test de anticuerpos tiene una sensibilidad muy alta, cerca del 98%, en probabilidades, 0,98.
P(T|D) = 0.98 (Sensibilidad)
Cálculo de P(T) --Probabilidad de que el test salga positivo en todos los individuos de la población.
Determinar la probabilidad de que un test salga positivo es más complicado, porque hay test positivos que salen en individuos que tienen la enfermedad, P(T|D), y también en aquellos que no la tienen, P(T|-D). Entonces es una suma ponderada de test positivos que salen de los enfermos (sensibilidad) y los no enfermos (1-especificidad). ¿Porqué ponderada?, porque hay muchas más personas que no tienen la enfermedad (-D) que las que tienen (D).
Efectivamente, 1 en 100 personas tiene la enfermedad celíaca.
Como dijimos, la sensibilidad de la técnica es del 98%, la especificidad es alta también, del 95%.
La probabilidad de obtener un test positivo en toda la población estará dada por:
P(T) = 1/100 x 98% + 99/100 x 5% = 5,93%
En la fórmula se ve bien que solamente 1 en 100 personas (los portadores de celiaquía) tienen el 98% de chance de ser positivos del test, y el 99 (los sanos) restante poseen un 5% de chance de ser positivos.
Es interesante que, dado la menor frecuencia de celiaquía, la probabilidad de salir positivos en el test es muy cercana a la tasa de falsos positivos.
El cociente de verosimilitud es = (P(T|D) / P(T)) 98%/5,93% = 16,5
Ahora, este término se interpreta como el factor por el cual el individuo aumenta su probabilidad con respecto a la probabilidad de toda la población (P(D)).
Un individuo que salió positivo en el test tiene 16,5 veces más chance de tener la enfermedad que la población general.
Como sabemos que la chance de tener la enfermedad P(D) es de 1/100 en nuestra población. Es la probabilidad de tener la enfermedad en la población general. Ahora multiplicamos ese factor de acuerdo a la ecuación
Verosimilitud x P(D)
16,5 x 1/100 = 1/6
Ahora vemos que la probabilidad de tener la enfemedad pasó de ser 1 en 100 a 1 en 6 en aquellos individuos que fueron positivos para el test. En otras palabras, 1/6 = 0,165, a pesar del test positivo, un individuo que se hizo el test al azar tiene menos del 20% de tener la enfermedad.
Las consecuencias son asombrosas, muchas personas que se hacen el test de celiaquía se sorprenderan que a pesar de salir positivo, pueden no tener la enfermedad, y esto es porque la probabilidad de ser positivo en un individuo al azar está mucho más influenciada por las 99 personas que no tienen la enfermedad que por la unica persona que si la tiene.
Otra manera de interpretar es que el pequeño número de verdaderos positivos es insignificante por la gran cantidad de falsos positivos (porque hay muchísima más gente sin enfermedad).
Lo mismo se puede decir del mamograma, una mujer mayor de 40 años posee menos de un 1% de chances de tener la enfermedad aún si el test salió positivo.
CUIDADO: Estos cálculos, que son precisos, están considerando individuos tomados al azar de una población, la probabilidad cambia si consideramos individuos con predisposición familiar o alguna causa que haga sospechar que se porta la enfermedad.
Por ejemplo, si el paciente de celiaquía tiene una historia familiar de celiaquía, un test positivo aumenta la chance de 16,5% a casi el 100%. O una mujer que le sale positivo el mamograma y posee un gen de predisposición del cáncer, la chance del 1% pasa a ser del 35%.
Es por eso que ciertos test médicos no deben ser realizados indiscriminadamente, sino ser aplicados de acuerdo a los requisitos.